GRADIEN dan PERSAMAAN GARIS

Gradien dan Persamaan Garis Lurus

1. Gradien

- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.
- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)
- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :
by = -ax – c
y = -a/bx – c/b
m(gradient) = -a/b

contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0
4y = -2×-5
y = -2/4 x – 5/4
maka m = -2/4 = -1/2
cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :
a) Gradien bernilai positif
Bila m (+)  contoh : 6x – 2 y – 9 = 0
m = – (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative
Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0
m = – (6/3) = -2 (negative)


c) Gradien garis melalui pangkal koordinat
Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x
contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :
m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)
sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)
contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

2. Hubungan 2 Garis Lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l
contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6
m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus
garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2





3. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :
y – y1 = m (x – x1)
Contoh 1 :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.
jawab :
Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2
Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 4 = -2 {x – (-3)}
y – 4 = -2 (x + 3 )
y – 4 = -2 x – 6
y = -2x – 6 + 4
y = -2x – 2

Contoh 2 :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)
jawab :
Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)
P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3
Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6 , y1 = 2
Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 2 = -1 (x – 6)
y – 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik
Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :
dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),
yaitu y – y1 = m ( x – x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x – x1)
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
Kesimpulan :
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)
jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).
A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4
B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8
Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y – 4) = 4(x – 3)
2y – 8 = 4x – 12
2y – 4x = 8 – 12
2y – 4x = -4
y – 2x = -2

4. Hubungan 2 garis lurus

Persamaan garis yang saling sejajar
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5
jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)
maka :
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = 2 (x-2)
y = 2×-4+3
y = 2x -1

Persamaan garis yang tegak lurus
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5
jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2
maka persamaan garisnya :
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = -1/2 (x-2)
y = -1/2 x + 1 + 3
y = -1/2 x + 4
kali 2
2y = -x + 4
2y + x – 4 = 0
 Persamaan garis yang berhimpit
Garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c…

Persamaan garis yang berpotongan
Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

SUKU BANYAK

Bentuk Umum:

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + … a₂x² + a₁x + a₀
n = derajat suku banyak
a₀ = konstanta
a_n, a_{n – 1}, a_{n – 2}, … = koefisien dari xⁿ, x^{n – 1}, x^{n – 2}, …

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
Teorema Sisa:
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Cara Pembagian Suku Banyak
Contoh:
F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1
1. Pembagian biasa

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
2. Cara Horner/Skema
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)

• Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
• Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

dan seterusnya

Untuk soal di atas,
P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½
P₂: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
3. Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d
= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1   x = 2   x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}